微分積分例

$y = - \arccos (\frac{1}{x^{3}})$

ステップ 1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \arccos (\frac{1}{x^{3}})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$ です。

$- \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{1}{x^{3}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x^{3}}$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x^{3}}$ で置き換えます。

$- (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])$

ステップ 3.2

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.2.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 3.2.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

ステップ 3.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$- 3$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}} x^{- 4}$

ステップ 3.4.2

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$ と $x^{- 4}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{- 4}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}}}$

ステップ 3.4.3

式を簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 4}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

ステップ 3.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{3}})}^{2}} x^{4}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{1}{x^{3}}$ に当てはめます。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{3})}^{2}}} x^{4}}$

ステップ 4.2.2

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{3 \cdot 2}}} x^{4}}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{6}}} x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例