微分積分例

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

まとめる。

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.4

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ を $- x \ln (x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- (x \ln (x) - x - 1)$ を $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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