微分積分例

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = 3 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 - x$ とします。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 - x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 7

$\frac{3}{2}$ と ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

ステップ 8

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ に $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ に ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 10.1.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 10.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 10.2

$2 {(3 - x)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

ステップ 11

総和則では、 $3 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 13

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16

分数をまとめます。

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ステップ 16.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

ステップ 16.2

$\frac{3}{2 (3 - x)}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

ステップ 16.3

式を簡約します。

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ステップ 16.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

ステップ 16.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$

微分積分 例

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