微分積分例

$y = \frac{\ln (15 x)}{15 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{15}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{\ln (15 x)}{15 x}$ の微分係数は $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (15 x)}{x}]$ です。

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (15 x)}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (15 x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (15 x)] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 15 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $15 x$ とします。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $15 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{1}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{15 x}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{x}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{x}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{1}{15} (15 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$15$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{15}{15} \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4.2

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{15}{15} \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4.3

$\frac{d}{d x} [x]$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x)}{x^{2}}$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{15}$ に $\frac{1 - \ln (15 x)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 - \ln (15 x)}{15 x^{2}}$

微分積分 例

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