微分積分例

$y = \ln ({(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{7}{5}}$ および $g (x) = 2 x^{7} + 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x^{7} + 5 x$ とします。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{7}{5}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {u_{2}}^{\frac{7}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x^{7} + 5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 6.2

$7$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 7

$\frac{7}{5}$ と ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

ステップ 8

$\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ に $\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}}$ をかけます。

$\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ を分母に移動させます。

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}} {(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

指数を足して ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ に ${(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1

${(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}$ を移動させます。

$\frac{7}{5 ({(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}})} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5} + \frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 10.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 10.1.4

$- 2$ と $7$ をたし算します。

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 10.1.5

$5$ を $5$ で割ります。

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 10.2

$5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

ステップ 11

総和則では、 $2 x^{7} + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 12

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{7}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 13

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 14

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 15

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 16

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5 \cdot 1)$

ステップ 17

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7}{5 (2 x^{7}) + 5 (5 x)} (14 x^{6} + 5)$

ステップ 18.2

項をまとめます。

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ステップ 18.2.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{7}{10 x^{7} + 5 (5 x)} (14 x^{6} + 5)$

ステップ 18.2.2

$5$ に $5$ をかけます。

$\frac{7}{10 x^{7} + 25 x} (14 x^{6} + 5)$

ステップ 18.3

$\frac{7}{10 x^{7} + 25 x} (14 x^{6} + 5)$ の因数を並べ替えます。

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{10 x^{7} + 25 x}$

ステップ 18.4

$5 x$ を $10 x^{7} + 25 x$ で因数分解します。

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ステップ 18.4.1

$5 x$ を $10 x^{7}$ で因数分解します。

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6}) + 25 x}$

ステップ 18.4.2

$5 x$ を $25 x$ で因数分解します。

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6}) + 5 x (5)}$

ステップ 18.4.3

$5 x$ を $5 x (2 x^{6}) + 5 x (5)$ で因数分解します。

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

ステップ 18.5

$14 x^{6} + 5$ に $\frac{7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$ をかけます。

$\frac{(14 x^{6} + 5) \cdot 7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

ステップ 18.6

$7$ を $14 x^{6} + 5$ の左に移動させます。

$\frac{7 (14 x^{6} + 5)}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

微分積分 例

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