微分積分例

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = 1 + \log (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\log (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (10)}$ です。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \log (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ です。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\log (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x \ln (10)}$ です。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 5

$\frac{1}{x \ln (10)}$ と $\log (x)$ をまとめます。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 6

$(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ を掛けます。

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 7

$(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ と $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 9

$x$ と $\frac{1}{x \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 10

$\ln (10)$ と $\frac{x}{x \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 11

$\ln (10)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 11.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 12

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 12.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 13

$1 + \log (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 14

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 15

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 15.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 16

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 17

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ に $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

分子を簡約します。

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ステップ 18.1.1

$1$ の対数の底 $10$ は $0$ です。

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 18.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

ステップ 18.2

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

ステップ 18.3

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

微分積分 例

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