微分積分例

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x + 2)}^{5}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x + 2)}^{5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x + 2$ とします。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ と $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x + 2)}^{4}$ と $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ をまとめます。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.2.2

$5$ を ${(x + 2)}^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.2.3

${(x + 2)}^{4}$ と ${(x + 2)}^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

${(x + 2)}^{4}$ を $5 {(x + 2)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

${(x + 2)}^{4}$ を ${(x + 2)}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 3.5

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

ステップ 3.6.2

$\frac{5}{x + 2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{x + 2}$

微分積分 例

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