微分積分例

$y = \log_{5} (e^{2 x})$

ステップ 1

$f (x) = \log_{5} (x)$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\log_{5} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$e^{2 x}$ と $\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2

$e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{\ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.4

$2$ と $\frac{1}{\ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 1$

ステップ 3.6

$\frac{2}{\ln (5)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{\ln (5)}$

微分積分 例

微分積分例