微分積分例

$y = e^{\cos (x^{2})}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x^{2})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x^{2})$ で置き換えます。

$e^{\cos (x^{2})} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2}$ とします。

$e^{\cos (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$e^{\cos (x^{2})} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$e^{\cos (x^{2})} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\cos (x^{2})} (- \sin (x^{2}) (2 x))$

ステップ 3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\cos (x^{2})} (- 2 \sin (x^{2}) x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$e^{\cos (x^{2})} (- 2 \sin (x^{2}) x)$ の因数を並べ替えます。

$- 2 e^{\cos (x^{2})} x \sin (x^{2})$

ステップ 4.2

$- 2 e^{\cos (x^{2})} x \sin (x^{2})$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{\cos (x^{2})} \sin (x^{2})$

微分積分 例