微分積分例

$y = e^{a x} \sin (B x)$

ステップ 1

$f (x) = e^{a x}$ および $g (x) = \sin (B x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{a x} \frac{d}{d x} [\sin (B x)] + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = B x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $B x$ とします。

$e^{a x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$e^{a x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $B x$ で置き換えます。

$e^{a x} (\cos (B x) \frac{d}{d x} [B x]) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$B$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $B x$ の微分係数は $B \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{a x} (\cos (B x) (B \frac{d}{d x} [x])) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{a x} (\cos (B x) (B \cdot 1)) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 3.3

$B$ に $1$ をかけます。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) \frac{d}{d x} [e^{a x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = a x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $a x$ とします。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $a x$ で置き換えます。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} \frac{d}{d x} [a x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} (a \cdot 1))$

ステップ 5.3

$a$ に $1$ をかけます。

$e^{a x} (\cos (B x) B) + \sin (B x) (e^{a x} a)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

項を並べ替えます。

$e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$

ステップ 6.2

$e^{a x} B \cos (B x) + e^{a x} a \sin (B x)$ の因数を並べ替えます。

$B e^{a x} \cos (B x) + a e^{a x} \sin (B x)$

微分積分 例

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