微分積分例

$y = e^{k \tan (\sqrt{5 x})}$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 x}$ を ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}]$

ステップ 1.2

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})}]$

ステップ 1.3

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ で置き換えます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 3

$k$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ の微分係数は $k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ です。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} (k \frac{d}{d x} [\tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})])$

ステップ 4

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k (\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$5^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 10

分数の前に負数を移動させます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 12

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$ と $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $k$ をまとめます。

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 16

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ をまとめます。

$\frac{e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{k e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

項を並べ替えます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.3

$\frac{5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} k \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{k \cdot 5^{\frac{1}{2}} e^{k \tan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} \sec^{2} (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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