微分積分例

$y = e^{5 x \sin (x)}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x \sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 x \sin (x)$ で置き換えます。

$e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x \sin (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ です。

$e^{5 x \sin (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 2.2

$5$ を $e^{5 x \sin (x)}$ の左に移動させます。

$5 \cdot e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

ステップ 5.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x))$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$5 e^{5 x \sin (x)} x \cos (x) + 5 e^{5 x \sin (x)} \sin (x)$

微分積分 例

微分積分例