微分積分例

$y = e^{4 x} \ln (x^{4})$

ステップ 1

$f (x) = e^{4 x}$ および $g (x) = \ln (x^{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{4}$ とします。

$e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$e^{4 x} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$e^{4 x} (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{4}}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{4 x}}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.3

項を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ と $\frac{e^{4 x}}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.3.2

$\frac{4 e^{4 x}}{x^{4}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{4 e^{4 x} x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.3.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.1

$x^{3}$ を $4 e^{4 x} x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} (4 e^{4 x})}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (e^{4 x} \cdot 4)$

ステップ 5.3.2

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$\frac{4 e^{4 x}}{x} + \ln (x^{4}) (4 \cdot e^{4 x})$

ステップ 5.3.3

項を並べ替えます。

$4 e^{4 x} \ln (x^{4}) + \frac{4 e^{4 x}}{x}$

微分積分 例

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