微分積分例

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

ステップ 1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

ステップ 3

$\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ を $\sin (3 x) \cot (x)$ に変換します。

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

ステップ 4

$f (x) = \sin (3 x)$ および $g (x) = \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

ステップ 6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

ステップ 7.3.2

$3$ を $\cot (x) \cos (3 x)$ の左に移動させます。

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

項を並べ替えます。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

ステップ 8.2.2

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

ステップ 8.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

ステップ 8.2.4

$\sin (3 x)$ と $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

ステップ 8.2.5

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.2.6

$3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.6.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ と $3$ をまとめます。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

ステップ 8.2.6.2

$\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ と $\cos (3 x)$ をまとめます。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.2.7

$3$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.2

分数を分解します。

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.3

$\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ を積として書き換えます。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.4

$\sin (3 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.5

簡約します。

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ステップ 8.3.5.1

$\sin (3 x)$ を $1$ で割ります。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.5.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.6

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.7

$\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ を掛けます。

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ステップ 8.3.7.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.7.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.8

分数を分解します。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 8.3.9

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

ステップ 8.3.10

$3 \cos (3 x)$ を $1$ で割ります。

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

微分積分 例

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