微分積分例

$y = \sin^{6} (4 x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = \sin (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (4 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 1.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (4 x)$ で置き換えます。

$6 \sin^{5} (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$6 \sin^{5} (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$6 \sin^{5} (4 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$6 \sin^{5} (4 x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \sin^{5} (4 x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$4$ に $6$ をかけます。

$24 \sin^{5} (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 \sin^{5} (4 x) \cos (4 x) \cdot 1$

ステップ 3.4

$24$ に $1$ をかけます。

$24 \sin^{5} (4 x) \cos (4 x)$

微分積分 例