微分積分例

$y = \sin^{2} (e^{3 x + 1})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (e^{3 x + 1})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (e^{3 x + 1})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (e^{3 x + 1})$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [\sin (e^{3 x + 1})]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = e^{3 x + 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $e^{3 x + 1}$ とします。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{3 x + 1}$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) (\cos (e^{3 x + 1}) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 1}])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $3 x + 1$ とします。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

ステップ 3.3

$u_{3}$ のすべての発生を $3 x + 1$ で置き換えます。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.4

$3$ に $1$ をかけます。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]))$

ステップ 4.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} (3 + 0))$

ステップ 4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (e^{3 x + 1} \cdot 3)$

ステップ 4.6.2

$3$ を $e^{3 x + 1}$ の左に移動させます。

$2 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) (3 \cdot e^{3 x + 1})$

ステップ 4.6.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$

ステップ 4.6.4

$6 \sin (e^{3 x + 1}) \cos (e^{3 x + 1}) e^{3 x + 1}$ の因数を並べ替えます。

$6 e^{3 x + 1} \cos (e^{3 x + 1}) \sin (e^{3 x + 1})$

微分積分 例

微分積分例