微分積分例

$y = \sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$ を ${(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

ステップ 8

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x^{6} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.4.2

$x^{6} + 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.5

総和則では、 $x^{6} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.6

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.7

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + 0)}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1

$6 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5})}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.8.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

ステップ 9.8.3

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 9.8.4

$2$ を ${(x^{6} + 2)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 \cdot {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x^{6} + 2}{x - 3})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 10.2

積の法則を $\frac{x^{6} + 2}{x - 3}$ に当てはめます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{6} + 2 + (- 6 x - 6 \cdot - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x \cdot x^{5} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.1

$x^{5}$ を移動させます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.1.2

$x^{5}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x^{1}) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{5 + 1} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.1.3

$5$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.2

$- 6$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.3

$x^{6}$ から $6 x^{6}$ を引きます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.4

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}}$ に $\frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}) {(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.5

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6

指数を足して ${(x^{6} + 2)}^{2}$ に ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.6.1

${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 ({(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{2}) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.6.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5.6.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 5 x^{6} + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.7

$- 1$ を $- 5 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{6}) + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.8

$- 1$ を $18 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.9

$- 1$ を $- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5})$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.10

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.11

$- 1$ を $- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.12

$- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ を $- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5 x^{6} - 18 x^{5} - 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例