微分積分例

$y = \sqrt{e^{x} + 8}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{x} + 8}$ を ${(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = e^{x} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 7

和の法則を使って微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(e^{x} + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 8]$

ステップ 7.3

総和則では、 $e^{x} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 8

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 9

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 9.1

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

ステップ 9.2.2

$\frac{1}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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