微分積分例

$y = \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{a}{x}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x}{a}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{x}{a}}$ を ${(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{x}{a}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{x}{a}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{x}{a}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{a}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.3

$\frac{1}{a}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{a}$ の微分係数は $\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.5

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.6

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{1 - 2}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.8.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{a} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.10

$\frac{1}{a}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{a} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.11

$\frac{1}{a}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{a \cdot 2} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 2.12

$2$ を $a$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{a}{x}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{a}{x}}$ を ${(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [{(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{a}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{a}{x}$ とします。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

ステップ 3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

ステップ 3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{a}{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$

ステップ 3.3

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{a}{x}$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 3.4

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 3.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (a (- x^{- 2}))$

ステップ 3.11

$a$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{a}{2} {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- x^{- 2})$

ステップ 3.12

$\frac{a}{2}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a x^{- 2}}{2})$

ステップ 3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{x}{a})}^{- \frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{a}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.2

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{1}{2 a} {(\frac{a}{x})}^{\frac{1}{2}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.3

積の法則を $\frac{a}{x}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + {(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.4

積の法則を $\frac{x}{a}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 a} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5

項をまとめます。

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ステップ 4.5.1

$\frac{1}{2 a}$ に $\frac{a^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 a x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $a^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 a x^{\frac{1}{2}} a^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.3

指数を足して $a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.1

$a^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.3.2

$a^{- \frac{1}{2}}$ に $a$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.3.2.1

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2 (a^{- \frac{1}{2}} a^{1}) x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2 a^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} (- \frac{a}{2 x^{2}})$

ステップ 4.5.4

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{a}{2 x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{a^{\frac{1}{2}} (2 x^{2})}$

ステップ 4.5.5

$2$ を $a^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}} a}{2 \cdot a^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

ステップ 4.5.6

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 4.5.7

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.7.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}$

ステップ 4.5.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2}}$

ステップ 4.5.7.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.7.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 4.5.7.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

ステップ 4.5.7.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.7.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

ステップ 4.5.7.6.2

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.8

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $a^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.9

指数を足して $a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.9.1

$a$ に $a^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.9.1.1

$a$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.9.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.9.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4.5.9.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例