微分積分例

$y = x^{2 \cos (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{2 \cos (x)}$ を $e^{\ln (x^{2 \cos (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \cos (x)})}]$

ステップ 1.2

$2 \cos (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2 \cos (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{2 \cos (x) \ln (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 \cos (x) \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 \cos (x) \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 \cos (x) \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [2 \cos (x) \ln (x)]$

ステップ 3

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x) \ln (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ です。

$e^{2 \cos (x) \ln (x)} (2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

ステップ 3.2

$2$ を $e^{2 \cos (x) \ln (x)}$ の左に移動させます。

$2 \cdot e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

ステップ 4

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 6

$\cos (x)$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 7

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{\cos (x)}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{x} e^{2 \cos (x) \ln (x)} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 8.2.2

$\frac{\cos (x) \cdot 2}{x}$ と $e^{2 \cos (x) \ln (x)}$ をまとめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 8.2.3

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} + 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

ステップ 8.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x} - 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \ln (x) \sin (x)$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$- 2 e^{2 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{2 \cos (x) e^{2 \cos (x) \ln (x)}}{x}$

微分積分 例

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