微分積分例

$y = x^{3} {(2 x - 1)}^{7}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = {(2 x - 1)}^{7}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{7}] + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 1$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} (2 + 0)) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$x^{3} (7 {(2 x - 1)}^{6} \cdot 2) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.6.2

$2$ に $7$ をかけます。

$x^{3} (14 {(2 x - 1)}^{6}) + {(2 x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (14 {(2 x - 1)}^{6}) + {(2 x - 1)}^{7} (3 x^{2})$

ステップ 3.8

$3$ を ${(2 x - 1)}^{7}$ の左に移動させます。

$x^{3} (14 {(2 x - 1)}^{6}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{7} x^{2}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6}$ を $x^{3} (14 {(2 x - 1)}^{6}) + 3 {(2 x - 1)}^{7} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6}$ を $x^{3} (14 {(2 x - 1)}^{6})$ で因数分解します。

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (x \cdot (14)) + 3 {(2 x - 1)}^{7} x^{2}$

ステップ 4.1.2

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6}$ を $3 {(2 x - 1)}^{7} x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (x \cdot (14)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (3 (2 x - 1))$

ステップ 4.1.3

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6}$ を $x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (x \cdot (14)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (3 (2 x - 1))$ で因数分解します。

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (x \cdot (14) + 3 (2 x - 1))$

ステップ 4.2

$14$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} {(2 x - 1)}^{6} (14 x + 3 (2 x - 1))$

微分積分 例

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