微分積分例

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 \ln (x)$ とします。

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 \ln (x)$ で置き換えます。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \ln (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.6

$- 2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.8

$e^{- 2 \ln (x)}$ と $\frac{2}{x}$ をまとめます。

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.9

$2$ を $e^{- 2 \ln (x)}$ の左に移動させます。

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.10

$x^{4}$ と $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ をまとめます。

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.11

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.1

$x$ を $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ で因数分解します。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.11.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.11.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.11.2.3

共通因数を約分します。

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.11.2.4

式を書き換えます。

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.11.2.5

$x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ を $1$ で割ります。

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

ステップ 2.13

$- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ と $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ をたし算します。

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ステップ 2.13.1

$e^{- 2 \ln (x)}$ を移動させます。

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

ステップ 2.13.2

$- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ と $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ をたし算します。

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

ステップ 3.2

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ の因数を並べ替えます。

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$

微分積分 例

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