微分積分例

$y = x e^{- x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2}$ で置き換えます。

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 7.2

$- 2$ を $e^{- x^{2}}$ の左に移動させます。

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

ステップ 9

$e^{- x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

ステップ 10.2

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

微分積分 例

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