微分積分例

$y = x e^{x} - 4 e^{- x}$

ステップ 1

総和則では、 $x e^{x} - 4 e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

ステップ 2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 4 e^{- x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 e^{- x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$x e^{x} + e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$x e^{x} + e^{x} - 4 (- e^{- x})$

ステップ 3.8

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x e^{x} + e^{x} + 4 e^{- x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

項を並べ替えます。

$e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$

ステップ 4.2

$e^{x} x + 4 e^{- x} + e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x} + 4 e^{- x} + e^{x}$

微分積分 例

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