微分積分例

$y = x^{5} \ln (x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$x^{5}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.2.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

微分積分 例

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