微分積分例

$y = x^{2} (6 - x)$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 6 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $6 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot x^{2} + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$- x^{2} + (6 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} + (6 - x) (2 x)$

ステップ 2.8

$2$ を $6 - x$ の左に移動させます。

$- x^{2} + 2 \cdot (6 - x) x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$- x^{2} + (2 \cdot 6 + 2 (- x)) x$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$- x^{2} + 2 \cdot 6 x + 2 (- x) x$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$2$ に $6$ をかけます。

$- x^{2} + 12 x + 2 (- x) x$

ステップ 3.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x$

ステップ 3.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)$

ステップ 3.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})$

ステップ 3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}$

ステップ 3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}$

ステップ 3.3.7

$- x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 12 x$

微分積分 例

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