微分積分例

$y = \sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$ を ${(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ および $g (x) = \frac{x + 2}{x + 3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 2}{x + 3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{8}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 2}{x + 3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 6.2

$1$ から $8$ を引きます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

ステップ 8

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.4

式を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.4.2

$x + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.5

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.7

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.8

分数をまとめます。

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ステップ 9.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 9.8.3

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} \cdot 8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

ステップ 9.8.4

$8$ を ${(x + 3)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{\frac{7}{8}}$

ステップ 10.2

積の法則を $\frac{x + 3}{x + 2}$ に当てはめます。

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4

項をまとめます。

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ステップ 10.4.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x + 3 - x - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.3

$0$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.4

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.5

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}}$ に $\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$ をかけます。

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.6

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して ${(x + 3)}^{\frac{7}{8}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}} {(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7

指数を足して ${(x + 3)}^{2}$ に ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ を掛けます。

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ステップ 10.4.7.1

${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ を移動させます。

$\frac{1}{8 ({(x + 3)}^{- \frac{7}{8}} {(x + 3)}^{2}) {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7.4

$2$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.7.6.1

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 16}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

ステップ 10.4.7.6.2

$- 7$ と $16$ をたし算します。

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{9}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

微分積分 例

微分積分例