微分積分例

$y = \sqrt{\sec (x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\sec (x)}$ を ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{2}$ と ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 8

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (x) \tan (x))$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$\sec (x)$ と $\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \tan (x)$

ステップ 9.2

$\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\sec (x) \tan (x) {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

指数を足して $\sec (x)$ に ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 10.1

${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (x) \tan (x)}{2}$

ステップ 10.2

${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ に $\sec (x)$ をかけます。

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ステップ 10.2.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (x) \tan (x)}{2}$

ステップ 10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + 1} \tan (x)}{2}$

ステップ 10.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \tan (x)}{2}$

ステップ 10.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}} \tan (x)}{2}$

ステップ 10.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \tan (x)}{2}$

微分積分 例

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