微分積分例

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

ステップ 1

$f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{2} - 4 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.8

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.9

$- 2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.10

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (- 2 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.3

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.4

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.5

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 4 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$- - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 10 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$- 12$ と $7$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

群による因数分解。

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ステップ 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ で和が $b = - 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.1.1

$- 6$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$- 6$ を $- 1$ プラス $- 5$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

最大公約数 $- x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- (x + 1)$ を $- 1 (x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例