微分積分例

$y = \frac{x^{2} - 25}{x - 5}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 25$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$2$ を $x - 5$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.5

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.7

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 25) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 25) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 25)}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 25}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 25}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 25}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 25}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

$- 1$ に $- 25$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 25}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 25}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 10 x + 5^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

ステップ 3.5.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.5.4

$a = x$ と $b = 5$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6

${(x - 5)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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