微分積分例

$y = \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ を $1 - x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7

掛け算します。

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ステップ 2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.7.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4

$2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$- 3 x^{4}$ と $2 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{3 x^{2} - x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{- x^{4} + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

$x^{2}$ を $- x^{4} + 3 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$x^{2}$ を $- x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.3

$x^{2}$ を $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

分母を簡約します。

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ステップ 5.6.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

ステップ 5.6.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

ステップ 5.6.4

積の法則を $(1 + x) (1 - x)$ に当てはめます。

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5.8

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5.9

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (- (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5.10

$- (x^{2} - 3)$ を $- 1 (x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} (- 1 (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

ステップ 5.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例