微分積分例

$y = \frac{x^{3} + 1}{8 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{8}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3} + 1}{8 x}$ の微分係数は $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$ です。

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3} + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{8}$ に $\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{8 x^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 1}{8 x^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

ステップ 9.2.2

$3 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

微分積分 例

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