微分積分例

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x^{3}}{3}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.6

$x^{3}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.7

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.7.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.7.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.7.2.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 2.7.2.5

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- \frac{1}{9}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{3}}{9}$ の微分係数は $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

ステップ 3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

ステップ 3.4

$- 3$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

ステップ 3.5

$\frac{- 3}{9}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

ステップ 3.6

$- 3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\ln (x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.2

$3$ と $\frac{\ln (x)}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.3

$\frac{3 \ln (x)}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.4.2

$\ln (x) x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.5

$\frac{1}{3} x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.6

$\frac{1}{3} x^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.9

$\frac{x^{2}}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.10

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.11

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.11.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.11.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.12

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

ステップ 4.2.13

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.13.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

ステップ 4.2.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.2.13.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

ステップ 4.2.13.2.3

式を書き換えます。

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

ステップ 4.2.13.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) x^{2} + 0$

ステップ 4.2.14

$\ln (x) x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\ln (x) x^{2}$

ステップ 4.3

$\ln (x) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} \ln (x)$

微分積分 例

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