微分積分例

$y = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.4

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.4.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 2.8

$1$ から $4$ を引きます。

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 2 x^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$- 2 x^{- 3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3} - (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x^{- 3} - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.6

${(x^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 x^{- 3} - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.6.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.8

指数を足して $x^{- 6}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.8.3

$2$ から $6$ を引きます。

$- 2 x^{- 3} - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.9

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

ステップ 3.10

$\frac{1}{x^{3}}$ に $0$ をかけます。

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4} + 0$

ステップ 3.11

$3 x^{- 4}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x^{- 3} + 3 x^{- 4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 x^{- 4}$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{3}} + 3 \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 4.3.3

$3$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$- \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例