微分積分例

$y = \frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$ を $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$196 x^{8}$ を ${(14 x^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$

ステップ 1.1.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{15^{2}}{x^{2}}}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{15^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{15}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

ステップ 1.1.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$420 x^{3} = 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x}$

ステップ 1.1.5

多項式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

ステップ 1.1.6

$a = 14 x^{4}$ と $b = \frac{15}{x}$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4} + \frac{15}{x})}^{2}}]$

ステップ 1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$

ステップ 2

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ および $g (x) = 14 x^{4} + \frac{15}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [14 x^{4} + \frac{15}{x}] + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $14 x^{4} + \frac{15}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]$ です。

$\frac{1}{x^{4}} (\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.2

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x^{4}$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{x^{4}} (14 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} (14 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.4

$4$ に $14$ をかけます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.5

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{15}{x}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.6

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.7

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 (- x^{- 2})) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.8

式を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

ステップ 3.8.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

ステップ 3.8.3

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.8.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 3.8.3.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 3.9

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5

項をまとめます。

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ステップ 4.5.1

$56$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{56}{x^{4}} x^{3} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.2

$\frac{56}{x^{4}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{56 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.3

$x^{3}$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.1

$x^{3}$ を $56 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.3.2.1

$x^{3}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.4

$- 15$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{- 15}{x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{15}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.6

$\frac{1}{x^{4}}$ に $\frac{15}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4} x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.7

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.7.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4 + 2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.7.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.8

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} \frac{- 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- \frac{4}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.10

$- 1$ に $14$ をかけます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - 14 x^{4} \frac{4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.11

$- 14$ と $\frac{4}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 14 \cdot 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.12

$- 14$ に $4$ をかけます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.13

$x^{4}$ と $\frac{- 56}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.14

$- 56$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56 \cdot x^{4}}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.15

$x^{4}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.15.1

$x^{4}$ を $- 56 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.15.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.15.2.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.15.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.15.2.3

式を書き換えます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

ステップ 4.5.17

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} \cdot \frac{- 4}{x^{5}}$

ステップ 4.5.18

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- \frac{4}{x^{5}})$

ステップ 4.5.19

$\frac{15}{x}$ に $\frac{4}{x^{5}}$ をかけます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{15 \cdot 4}{x \cdot x^{5}}$

ステップ 4.5.20

$15$ に $4$ をかけます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x \cdot x^{5}}$

ステップ 4.5.21

指数を足して $x$ に $x^{5}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.21.1

$x$ に $x^{5}$ をかけます。

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ステップ 4.5.21.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1} x^{5}}$

ステップ 4.5.21.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1 + 5}}$

ステップ 4.5.21.2

$1$ と $5$ をたし算します。

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{6}}$

ステップ 4.5.22

$\frac{56}{x}$ から $\frac{56}{x}$ を引きます。

$- \frac{15}{x^{6}} + 0 - \frac{60}{x^{6}}$

ステップ 4.5.23

$- \frac{15}{x^{6}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{15}{x^{6}} - \frac{60}{x^{6}}$

ステップ 4.5.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 15 - 60}{x^{6}}$

ステップ 4.5.25

$- 15$ から $60$ を引きます。

$\frac{- 75}{x^{6}}$

ステップ 4.5.26

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{75}{x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例