微分積分例

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 25}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 25}$ を ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3

${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 25$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 25$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 7.2

${(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]$

ステップ 8

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [25])$

ステップ 10

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 11

項を簡約します。

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ステップ 11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

ステップ 11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 11.3

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 11.4

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 11.5

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例