微分積分例

$y = \frac{1}{{(4 x + 7)}^{3}}$

ステップ 1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{{(4 x + 7)}^{3}}$ を ${({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 1.2

${({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{- 3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = 4 x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x + 7$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 x + 7$ で置き換えます。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.4

$4$ に $1$ をかけます。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

ステップ 3.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 + 0)$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} \cdot 4$

ステップ 3.6.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$- 12 {(4 x + 7)}^{- 4}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 12 \frac{1}{{(4 x + 7)}^{4}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 12$ と $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{- 12}{{(4 x + 7)}^{4}}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12}{{(4 x + 7)}^{4}}$

微分積分 例

微分積分例