微分積分例

$y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$

ステップ 1

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)}$ を ${((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ で置き換えます。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)]$

ステップ 3

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = x^{2} + x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1 + 0) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4.5

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4.6

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 4.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

ステップ 4.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x + 0))$

ステップ 4.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (x^{2} + x + 1) (2 x))$

ステップ 4.9.2

$2$ を $x^{2} + x + 1$ の左に移動させます。

$- {((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{- 2} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 \cdot (x^{2} + x + 1) x)$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{((x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

ステップ 5.2

積の法則を $(x^{2} - 1) (x^{2} + x + 1)$ に当てはめます。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{2} + x + 1) x)$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + (2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1) x)$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{2} x + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 \cdot 1 x)$

ステップ 5.5.8

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$

ステップ 5.6

$- \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}} ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- ((x^{2} - 1) (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (2 x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (2 x + 1) - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.1.2

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x + 1) + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.1.3

分配則を当てはめます。

$- (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$- (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.1

$x$ を移動させます。

$- (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- (2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- (2 x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.7.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- (2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

$2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2} + 0) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.2

$2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- (2 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{3} + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.9

$2 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$- (4 x^{3} + x^{2} - 1 + 2 x^{2}) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.10

$x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.11

分配則を当てはめます。

$(- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.12.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 x^{3} - (3 x^{2}) - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.12.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} - - 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.12.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.13

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.13.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.13.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{((x + 1) (x - 1))}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.13.3

積の法則を $(x + 1) (x - 1)$ に当てはめます。

$(- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1) \frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.14

$- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ に $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 4 x^{3} - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.15

$- 1$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x^{3}) - 3 x^{2} + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.16

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x^{3}) - (3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.17

$- 1$ を $- (4 x^{3}) - (3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.18

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.19

$- 1$ を $- (4 x^{3} + 3 x^{2}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.20

$- (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ を $- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

ステップ 5.21

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x^{3} + 3 x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例