微分積分例

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

ステップ 1

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

ステップ 2.1.4.2

$15 x^{4} - 15 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{4}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 2.2.2.3

$4$ に $15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{2}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $- 15$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $60 x^{3} - 30 x$ です。

$60 x^{3} - 30 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $60 x^{3} - 30 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$60 x^{3} - 30 x = 0$

ステップ 3.2

$30 x$ を $60 x^{3} - 30 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$30 x$ を $60 x^{3}$ で因数分解します。

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

ステップ 3.2.2

$30 x$ を $- 30 x$ で因数分解します。

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

ステップ 3.2.3

$30 x$ を $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ で因数分解します。

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$2 x^{2} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 x^{2} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{2} - 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $2 x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x^{2} = 1$

ステップ 3.5.2.2

$2 x^{2} = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2 x^{2} = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 3.5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.6

最終解は $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4.2

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 1)$

ステップ 4.3

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ を $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.2.1

${\sqrt{2}}^{5}$ を $\sqrt{2^{5}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2.2

$2$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2.3

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.2.3.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2.3.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.3

$2$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.4

$4$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.1

$4$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.4.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.5

$3$ と $\frac{\sqrt{2}}{8}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.3.2.1.6

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.7.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.7.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.7.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.7.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.7.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.7.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

ステップ 4.3.2.1.8

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.1.9

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.9.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

ステップ 4.3.2.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

ステップ 4.3.2.1.9.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

ステップ 4.3.2.1.10

$- 5$ と $\frac{\sqrt{2}}{4}$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

ステップ 4.3.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

ステップ 4.3.2.2

$- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

ステップ 4.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.2.3.1

$\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

ステップ 4.3.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1.1

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.5.1.2

$3 \sqrt{2}$ から $10 \sqrt{2}$ を引きます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.3.2.6

最終的な答えは $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ です。

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.4

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ で代入して $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 求めた点は、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

ステップ 4.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ を $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.1

${\sqrt{2}}^{5}$ を $\sqrt{2^{5}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.3.2

$2$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.3.3

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.3.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.3.3.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.3.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.4

$2$ を $5$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.5

$4$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.5.1

$4$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.5.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.6

$3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.6.2

$- 3$ と $\frac{\sqrt{2}}{8}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

ステップ 4.5.2.1.8

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.8.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.8.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

ステップ 4.5.2.1.9

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.10.1

${\sqrt{2}}^{3}$ を $\sqrt{2^{3}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.10.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.10.3

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.10.3.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.10.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.10.4

累乗根の下から項を取り出します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.11

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.12

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.12.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.12.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.12.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.12.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.13

$- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.13.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

ステップ 4.5.2.1.13.2

$5$ と $\frac{\sqrt{2}}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

ステップ 4.5.2.2

$\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

ステップ 4.5.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.3.1

$\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

ステップ 4.5.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

ステップ 4.5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

ステップ 4.5.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.5.1

$2$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.5.2.5.2

$- 3 \sqrt{2}$ と $10 \sqrt{2}$ をたし算します。

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.5.2.6

最終的な答えは $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ です。

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

ステップ 4.6

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ で代入して $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 求めた点は、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.80710678$ で置換えます。

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.80710678$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

ステップ 6.2.1.2

$60$ に $- 0.52576659$ をかけます。

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

ステップ 6.2.1.3

$- 30$ に $- 0.80710678$ をかけます。

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

ステップ 6.2.2

$- 31.54599564$ と $24.21320343$ をたし算します。

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 7.3327922$ です。

$- 7.3327922$

ステップ 6.3

$- 0.80710678$ で二次導関数は $- 7.3327922$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.35355339$ で置換えます。

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 0.35355339$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

ステップ 7.2.1.2

$60$ に $- 0.04419417$ をかけます。

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

ステップ 7.2.1.3

$- 30$ に $- 0.35355339$ をかけます。

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

ステップ 7.2.2

$- 2.65165042$ と $10.60660171$ をたし算します。

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $7.95495128$ です。

$7.95495128$

ステップ 7.3

$- 0.35355339$ で二次導関数は $7.95495128$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.35355339$ で置換えます。

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.35355339$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

ステップ 8.2.1.2

$60$ に $0.04419417$ をかけます。

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

ステップ 8.2.1.3

$- 30$ に $0.35355339$ をかけます。

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

ステップ 8.2.2

$2.65165042$ から $10.60660171$ を引きます。

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 7.95495128$ です。

$- 7.95495128$

ステップ 8.3

$0.35355339$ で二次導関数は $- 7.95495128$ です。これは負の値なので、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ で減少

ステップ 9

区間 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $0.80710678$ で置換えます。

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$0.80710678$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

ステップ 9.2.1.2

$60$ に $0.52576659$ をかけます。

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

ステップ 9.2.1.3

$- 30$ に $0.80710678$ をかけます。

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

ステップ 9.2.2

$31.54599564$ から $24.21320343$ を引きます。

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $7.3327922$ です。

$7.3327922$

ステップ 9.3

$0.80710678$ で二次導関数は $7.3327922$ です。これは正の値なので、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例