微分積分例

$y = \frac{2 x^{2} + 3}{\cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{2} + 3$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\cos (x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.5

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{\cos (x) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2.6

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\cos (x) (4 x) - (2 x^{2} + 3) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

掛け算します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (4 x) + 1 (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4.2

$2 x^{2} + 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (4 x) + (2 x^{2} + 3) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) (4 x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5.2.2

$4 \cos (x) x + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 x \cos (x) + 2 x^{2} \sin (x) + 3 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

微分積分 例

微分積分例