微分積分例

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 6}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 6}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4.4

分数をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$2$ と $\frac{(x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 ((x^{2} + 6) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 6 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (6 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.5

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

$2 e^{x}$ を $- 4 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 12 e^{x}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.5.3

$2 e^{x}$ を $12 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.5.4

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

ステップ 5.5.5

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (6)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

微分積分 例

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