微分積分例

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

分数をまとめます。

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ステップ 4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$2$ と $\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 ((x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (1 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1.1

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.1.2

$2 e^{x}$ を $- 4 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.1.3

$2 e^{x}$ を $2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.1.4

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.1.5

$2 e^{x}$ を $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.5.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 5.5.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.5.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{2 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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