微分積分例

$y = \frac{1 + \ln (x)}{1 - \ln (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \ln (x)$ および $g (x) = 1 - \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $1 - \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.5

掛け算します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + 1 (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$1 + \ln (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.1.1

$- \ln (x) \frac{1}{x}$ と $\ln (x) \frac{1}{x}$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + 0}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$\frac{1}{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + 1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.4

項をまとめます。

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ステップ 6.4.1

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$\frac{2}{x}$ に $\frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{x {(1 - \ln (x))}^{2}}$

微分積分 例

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