微分積分例

$y = \frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{5 x}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{1}{5 x^{2}} + \frac{1}{5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{5} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{1}{5} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{5} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{5} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.9

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.10

$- 2$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.11

$\frac{- 2}{5}$ と $x^{- 3}$ をまとめます。

$\frac{- 2 x^{- 3}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.12

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 3}$ を分母に移動させます。

$\frac{- 2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 2.13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{5 x}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2}{5 x^{3}} + \frac{1}{5} (- x^{- 2})$

ステップ 3.4

$\frac{1}{5}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{x^{- 2}}{5}$

ステップ 3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{5 x^{3}} - \frac{1}{5 x^{2}}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{5 x^{2}} - \frac{2}{5 x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例