微分積分例

$y = \frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$ を ${(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 4 - 5 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - 5 x - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $4 - 5 x - x^{2}$ で置き換えます。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $4 - 5 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ をたし算します。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.4

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.6

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 3.7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - (2 x))$

ステップ 3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - 2 x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$- (- 5 - 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$(- - 5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$(5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$(5 + 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

ステップ 4.6

$5 + 2 x$ に $\frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{5 + 2 x}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

微分積分 例

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