微分積分例

$y = \frac{5}{2} \cdot (x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3})$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$x^{3}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5}{2} \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

ステップ 1.2

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{x^{3} \cdot 5}{2}$ と ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5 {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

ステップ 1.2.2

$5$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$ の微分係数は $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$ です。

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{5}{2} (x^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{5} - 5)}^{3}] + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 4 x^{5} - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x^{5} - 5$ とします。

$\frac{5}{2} (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $4 x^{5} - 5$ で置き換えます。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $4 x^{5} - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.4

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + 0)) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$20 x^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4})) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6.2

$20$ に $3$ をかけます。

$\frac{5}{2} (x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2} x^{4}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 5

指数を足して $x^{3}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{5}{2} (x^{4} x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5}{2} (x^{4 + 3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 5.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} (3 x^{2}))$

ステップ 7

$3$ を ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + 3 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2})) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2

項をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$x^{7}$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{7} \cdot 5}{2} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.2

$60$ と $\frac{x^{7} \cdot 5}{2}$ をまとめます。

$\frac{60 (x^{7} \cdot 5)}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.3

$5$ に $60$ をかけます。

$\frac{300 x^{7}}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.4

$\frac{300 x^{7}}{2}$ と ${(4 x^{5} - 5)}^{2}$ をまとめます。

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.5

$300$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.5.1

$2$ を $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.5.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 (1)} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.5.2.4

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ を $1$ で割ります。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.6

$3$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{3 \cdot 5}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.7

$3$ に $5$ をかけます。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

ステップ 8.2.8

${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ と $\frac{15}{2}$ をまとめます。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2} x^{2}$

ステップ 8.2.9

$\frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15 x^{2}}{2}$

ステップ 8.2.10

$15$ を ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

ステップ 8.2.11

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

ステップ 8.2.12

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

ステップ 8.2.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2 + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

ステップ 8.2.14

$2$ に $150$ をかけます。

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

ステップ 8.3

項を並べ替えます。

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ を $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1.1

$15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ を $300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

ステップ 8.4.1.2

$15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ を $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)}{2}$

ステップ 8.4.1.3

$15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ を $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)$ で因数分解します。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5} + 4 x^{5} - 5)}{2}$

ステップ 8.4.2

$20 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (24 x^{5} - 5)}{2}$

微分積分 例

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