微分積分例

$y = \frac{5}{1 + e^{3 x}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{1 + e^{3 x}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{3 x}}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{1 + e^{3 x}}$ を ${(1 + e^{3 x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{3 x})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + e^{3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + e^{3 x}$ とします。

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + e^{3 x}$ で置き換えます。

$5 (- {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 ({(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{3 x}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $1 + e^{3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ です。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ をたし算します。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$3$ に $- 5$ をかけます。

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} (e^{3 x} \cdot 1)$

ステップ 5.4

$e^{3 x}$ に $1$ をかけます。

$- 15 {(1 + e^{3 x})}^{- 2} e^{3 x}$

ステップ 6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 15 \frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

ステップ 7

項をまとめます。

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ステップ 7.1

$- 15$ と $\frac{1}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

ステップ 7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}} e^{3 x}$

ステップ 7.3

$e^{3 x}$ と $\frac{15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{3 x} \cdot 15}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$

ステップ 7.4

$15$ を $e^{3 x}$ の左に移動させます。

$- \frac{15 e^{3 x}}{{(1 + e^{3 x})}^{2}}$

微分積分 例

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