微分積分例

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{49 + x^{2}}$ を ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$42$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 1.3.2

${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 49 + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $49 + x^{2}$ とします。

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $49 + x^{2}$ で置き換えます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 8

${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 9.2

$- 1$ に $42$ をかけます。

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ と $- 42$ をまとめます。

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

ステップ 11

$2$ を $- 42$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$2$ を $2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

ステップ 14

総和則では、 $49 + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 15

$49$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $49$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 16

$0$ と $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ をたし算します。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

ステップ 18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 18.2

$- 2$ と $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 18.3

$- 2$ に $21$ をかけます。

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 18.4

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 18.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例