微分積分例

$y = \frac{4 x + 5}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = 4 x + 5$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 5

総和則では、 $4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 8

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 9

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + 0) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 10.2

$4$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 11

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

ステップ 12

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

ステップ 13

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

ステップ 15.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

ステップ 16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

ステップ 17

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

ステップ 18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + (- (4 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.2.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.2.2

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.3

$- 2$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4

$x$ と $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.5

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.7

$- 2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.8

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.9

$- 5$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.2

$4 x^{\frac{1}{2}}$ から $2 x^{\frac{1}{2}}$ を引きます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.2

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.4.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.2.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{1} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.3

$2 \cdot 2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

ステップ 19.6

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.6.1

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.6.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 19.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 19.6.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 19.6.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 19.6.6

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例