微分積分例

$y = \frac{4 x - 5}{x + 2}$

ステップ 1

$f (x) = 4 x - 5$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $4 x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x + 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 2) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 2) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$4$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (x + 2) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (4 x) - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x + 8 - (4 x) - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x + 8 - 4 x - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{4 x + 8 - 4 x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$4 x + 8 - 4 x + 5$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{0 + 8 + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$\frac{8 + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$8$ と $5$ をたし算します。

$\frac{13}{{(x + 2)}^{2}}$

微分積分 例

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